数学函数

11.反比例函数(笔记)

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或y=k，或xy=k, (k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0； (2)自变量x的取值范围是x≠0（3）因变量y的取值范围是y≠0

4．︱︱的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，，则所得矩形OMDN的面积为 ︱︱. 所得ΔPDO面积等，为 ︱︱

12.二次函数(笔记）

（一）二次函数一般式y=ax2+bx+c的平移：（用配方法）

(1)首先化为顶点式

（2）h: 先左右平移︱h︱ （左加右减）

K: 后上下平移︱k︱（上加下减）

（二）二次函数与坐标轴的交点

1．与y轴的交点：令x=0,得y=c, 所以与y轴的交点为（0，c）

2．与x轴的交点：令y=0,得一元二次方程

①有两个交点方程有2个不等实根；

②有一个交点方程有2个相等实根

③无交点方程无实根

3．已知抛物线与x 轴两个交点为（，0）（，0）

所以有交点式：y=a(x-)(x-)

4．若抛物线与x轴交于A、B两点，则两点间的距离为

︱-︱=

（三）二次函数与系数a、b、c的关系：

（1）a决定开口方向（a＞0开口向上，a＜0开口向下）

a决定增减性（a＞0左减右增，a＜0左增右减）

a决定增减性（a＞0左减右增，a＜0左增右减）

a决定最值（a＞0有最小值，a＜0有最大值）

︱a︱决定开口大小（︱a︱越大，开口越窄，︱a︱越小，开口越宽）

（2）a、b的符号决定对称轴位置：

①a、b同号对称轴在y轴左侧

② a、b异号轴在y轴右侧 （左同右异）

③当b=0时，对称轴为 y轴 (此时，+ c)

（3）c决定与y轴交点（0，c）的位置：

①c＞0,与y轴交点在正半轴

②c＜0, 与y轴交点在负半轴

③c=0,图象过原点（0,0）.(此时，+ bx)

a

a＞0

a＜0

开口向上， 左减右增，

开口向下 ，左增右减，

b

“左同右异”

ab＞0

b=0ab＜0

对称轴在 y轴左侧

对称轴为 y轴 (此时，+ c)

对称轴在 y轴右侧

c

c＞0

c=0

c＜0

与y轴正半轴相交；

经过原点；(此时，+ bx)

与y轴负半轴相交．

Δ=与x轴有2个交点；

与x轴有1个交点；

与x轴有无交点；

复习（一） 图形与坐标变化

一、点的特征：

1.第一象限内的点（+，+）；.第二象限内的点（―，+）；

第三象限内的点（―，―）；.第四象限内的点（+，―）；

2.坐标轴上的点：

（1）横轴（x轴）上的点纵坐标为0，即（x,0）;

（2）纵轴（y轴）上的点横坐标为0，即（0,y）.

3.平行：

（1）平行于x轴的同一直线上的点，有相同的纵坐标。

（2）平行于y轴的同一直线上的点，有相同的横坐标。

（3）平行于x轴的一条线段的长度等于两个端点横坐标之差的绝对值 ︱

（4）平行于y轴的一条线段的长度等于两个端点纵坐标之差的绝对值 ︱

4.对称：

（1）关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（x,y）←→(x, - y)

（2）关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（x,y）←→(- x, y)

（3）关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。（x,y）←→(- x, - y)

（4）关于直线直线y=x对称的两个点，横纵坐标位置互换。（x,y）←→（y,x）

（5）关于直线直线y= -x对称的两个点，横纵坐标都变成相反数后位置互换。（x,y）←→（- y, - x）

5、距离：

（1）点（x,y）到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即︱y︱

（2）点（x,y）到y轴的距离为横坐标的绝对值，即︱x︱

（3）点（x,y）到原点的距离为

（4）点（,）和点（,）, 任意两点间的距离为

6.（1）一、三象限角分线（直线y=x）上的点，横纵坐标相同（x,x）.

(2)二、四象限角平分线（直线y= -x）上的点，横纵坐标互为相反数(x,-x).

7、一条线段的中点公式：如果线段AB的中点为点M，已知A（,）和B（,），

则中点M()

二、图形与点的坐标变化：

1.点的平移：←→坐标加减（横坐标管左右平移，纵坐标管上下平移）(上加下减，右加左减)

（1）纵坐标不变，横坐标±a: (x,y) ←→(x±a,y):图像向右（向左）平移a个单位

（2）横坐标不变，纵坐标±b: (x,y) ←→(x,y±b):图像向上（向下）平移b个单位

（3）横坐标±a，纵坐标±b: (x,y) ←→ (x±a,y±b):图像向右（向左）平移a个单位，向上（向下）平移b个单位。

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