四点公圆和统计

四点共圆

一、定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”

二、四点共圆的判定定理：（常用方法的5个，注意定理4个）

定理1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆

∵OA=OB=OC=OD

∴点A、B、C、D四点共圆

定理2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个顶点共圆

注意：只需证一组对角互补

∵∠A+∠C=180°

∴点A、B、C、D四点共圆

或者

∵∠B+∠D=180°，

∴点A、B、C、D四点共圆

补充：这个定理也可以表述为：

共底边的两个三角形，且在底边的两侧，如果它们的顶角互补，则四个顶点共圆

△ABD 与△CBD 共底边BD

∵∠A+∠C=180°

∴点A、B、C、D四点共圆

定理3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆

∵∠CDE=∠B

∴点A、B、C、D四点共圆

定理4.共底边的两个三角形，且在底边的同侧，如果它们的顶角相等，则四个顶点共圆

△ABC 与△DBC 共底边BC

∵∠A=∠D

∴点A、B、C、D四点共圆

方法5.同斜边的直角三角形的四个顶点共圆

注意：方法5实质上是定理2和定理4的综合应用

（1） （2）

∵∠A+∠C=180° ∵∠A=∠C=90°

∴点A、B、C、D四点共圆 ∴点A、B、C、D四点共圆

三、四点共圆的妙用：巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题

几何中常用解决问题的方法：（1）全等 （2）相似（3）四点共圆

（4）图形变换：（平移、旋转、轴对称、位似）

28.统计 笔记

（一）数据的收集、整理与描述

一、调查收集数据的方法

1、普查（全面调查）：考察全体对象的调查方式叫做全面调查

2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查

二、统计图：

条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．

1、条形统计图：反映出数据的具体数目

2、折线统计图：反映出数据的变化规律

3、扇形统计图：反映出各部分数量占整体数量的百分比（扇形统计图反映的百分比就是频率）

= = = 频率

扇形圆心角度数 = 频率

三、总体、个体、样本、样本容量

1、总体：要考察的全体对象称为总体

2、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体

3、样本：被抽取的所有个体组成一个样本

4、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量

四、简单的随机抽样

用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样

五、频数、频率

1、频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数

2、频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率

频数与数据总数的比为频率

3、公式：（1）频率 = （2）频数 = 总数总数 =

（4）所有频数之和等于总数 （5）所有频率之和等于1

4、频数、频率表格中，存在比例关系： =

六、绘制频数分布直方图的步骤

①计算极差，极差最=大值与最小值的差；

②决定组距和组数；

③决定分点；

④画频数分布表；

⑤画出频数分布直方图．

1、极差最=大值与最小值的差；

2、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距

（二）数据的分析

一、描述一组数据“平均水平”的量：平均数、中位数、众数

二、平均数的概念

1、算数平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的算数平均数，简称平均数，其中，读作“x拔”.

2、加权平均数：如果数据x1，x2，x3……，xn的频数分别为f1，f2，f3……fn，那么这n个数据的平均数为：=

这个平均数叫做这组数据的加权平均数; 频数f1，f2，……fn,分别叫做数据x1，x2，……，xn的权

3、求平均数万能公式：=

三、中位数

先将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的一个数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．

注意：

1、求中位数先从小到大排序

2、如果一组数据共有奇数个，中位数 = 正中间位置的一个数

3、如果一组数据共有偶数个，中位数 = 正中间位置的两个数的平均数

四、众数

在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数．

注意：当有些数出现次数最多，而且出现次数相等时，众数往往不止一个（一组数众数可能有多个，但大多数情况只有一个）

二、描述一组数据“离散程度”的量：极差、方差、标准差

极差、方差、标准差越小，数据离散程度就越小，数据就越稳定，越好

1、极差

一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差．

2、方差：

“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．

计算方差的公式：设一组数据是是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

3、标准差：

一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．

用公式可表示为：

4、平均数、方差、标准差的运算性质：

如果数据的平均数为，方差为，标准差为s

⑴那么一组新数据的平均数为，方差是，标准差为s

⑵那么一组新数据的平均数为，方差是，标准差为ɑs

⑶那么一组新数据的平均数为，方差是；标准差为ɑs

小结：（1）平均数总是跟着数据运算变；新数据怎么变，平均数就怎么变

（2）数据加减法，方差、标准差不变

（3）数据乘除法，方差、标准差改变

大题4会：

（1）会求总数：结合两幅统计图的已知数据，求总数；

公式：总数 =

（2）会求频数或频率： =

（3）会求圆心角度数： = = = 频率

扇形圆心角度数 = 频率

（4）补全条形统计图：勿忘补条形，头顶写数量

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