圆

26、圆 笔记

1. 圆：平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫圆。

注：圆是一条封闭曲线。定点---圆心。定长---半径。

2. 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线，有无数条。

（2）圆是中心对称图形，圆绕自身中点旋转任意角度都能与自身重合。（旋转不变性）

3.弧：圆上任意两点间的部分，叫弧。

弧分三类：优弧：大于半圆的弧，叫优弧。用三个字母表示。

半圆：既不是优弧，也不是劣弧。用三个字母表示。

劣弧：小于半圆的弧，叫劣弧。用2个字母表示。

4.弦：连接圆上任意两点的线段，叫弦。直径是圆中最长的弦。

5.圆心角：顶点在圆心的角，叫圆心角。

6.圆周角：顶点在圆上，它的两条边与圆有另一个交点。

注：求一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。

7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度，叫弦心距。

8.定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

9.圆心相同的圆，叫同心圆。半径相等的圆，叫等圆（能重合的圆叫等圆）。

10.等弧：在同圆或等圆中，度数相等的弧，叫等弧。（能重合的弧叫等弧）。

11.弧的度数=圆心角度数

12.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

13..四组量定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距，四组量中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

14. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

15. 定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。

16. 定理：相等的圆周角所对的弧相等。

17. 定理：直径所对的圆周角是直角。

18. 定理：900的圆周角所对的弦是直径。

19. 结论：（1）一条弦所对的圆周角有两种，它们互补。求一条弦所对的圆周角，有两个答案

（2） 相等的弦所对的圆周角相等或互补。

20. 确定圆的方法：（1）圆心、半径法：圆心确定位置，半径确定大小。

（2） 不在同一直线上的三个点确定一个圆。（能连至少两条弦，用两次垂径定理，做两弦的垂直平分线）。

（3） 两弦垂直平分线确定圆心，半径。

19（1）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三条边垂直平分线的交点，外心到三个顶点距离相等。（原理实质三次两点间距离相等）

（2） 三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三个角平分线的交点，外心到三条边距离相等。（原理实质三次点到直线距离相等）

22. 定理：圆的内接四边形的对角互补

23. 定理：圆的内接四边形的外角等于内对角

24. 定理：圆的外切四边形的对边之和相等。

25、切线性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。（由切线得垂直）

26.切线判定定理：

经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（由垂直得切线）

27.点与圆的位置关系：已知圆的半径为r,点与圆心的距离为d，则

（1）点在圆外 d > r

（2）点在圆上 d = r

（3）点在圆内 d < r

28.直线与圆的位置关系：已知圆的半径为r,圆心与直线的距离为d，则

（1） 相离 d > r （无交点）

（2） 相切 d = r （一交点，切线）

（3）相交 d < r （两交点，割线）

29.弧长公式：在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长公式为：

L =

30.扇形面积公式：

（1）如果扇形的半径为R，圆心角为n0，那么扇形面积公式为：

S =

(2) 如果扇形所对应的弧长为L S =LR

（3）我们通常不直接用弧长和扇形面积公式，

求弧长时，利用这段弧占圆周长的几分之几，求出

求扇形面积时，利用这个扇形占圆面积的几分之几，求出

31.圆内接正多边形：顶点都在同一个圆上的正多边形叫圆内接正多边形。这个圆叫该正多边形的外接圆。（注意：2个定义：中心角、边心距）

32.圆内接正多边形、中心角、边心距：

（1） 圆内接正n边形的中心角等于：

（2） 圆内接正六边形是由6个等边三角形组成。半径和边长相等。

33.等边三角形边长为a，则面积为

34.四点共圆的判定：5种方法，4个定理

定理1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆

定理2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个顶点共圆

这个定理也可以表述为：

共底边的两个三角形，且在底边的两侧，如果它们的顶角互补，则四个顶点共圆

定理3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆

D

定理4.共底边的两个三角形，且在底边的同侧，如果它们的顶角相等，则四个顶点共圆

方法5.同斜边的直角三角形的四个顶点共圆

36.圆常作辅助线：（1）作半径（2）做直径

（3）连接切点和圆心（4）作弦

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