第六十七章番外6

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二元二次方程

二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程。其一般式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当c=0时，a、d至少一项不为零)。

中文名

二元二次方程

表达式

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

应用学科

数学

求解

“降次”、“消元”，因式分解法

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方程求解示例

简介

二元二次方程由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般用代入法求解，即将方程组中的二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入二元二次方程中，从而化“二元”为“一元”，如此便得到一个一元二次方程。此时，方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定。比如，当时，由于一元二次方程有两个相等的实根，则此方程组有相同的两组实数解……诸如此类。

二元二次方程的应用

方程求解

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

（1）有两组相等的实数解。

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解。解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式

（4）当a

（5）当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。

（6）当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。

"代入消元法”和“加减消元法”解方程组.

代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.

（2）代入法解二元一次方程组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；

②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的.）；

③解这个一元一次方程,求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.

例题：

{x-y=3①

{3x-8y=4②

由①得x=y+3③

③代入②得

3(y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

则：这个二元一次方程组的解

{x=4

{y=4.加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

（2）加减法解二元一次方程组的步骤

①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法）；

③解这个一元一次方程,求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.

如：

{5x+3y=9①

{10x+5y=12②

把①扩大2倍得到③

{10x+6y=18

③-②得：

10x+6y-(10x+5y)=18-12

y=6

再把y=带入①.②或③中

解之得:{x=-9/5

{y=6

示例

解:2x^2+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①,

且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②.

提示:解方程的基本思想是消元与降次。仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。②*3-①*4，得到一个新的方程。再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:双十字相乘法)，难度较大。也可以运用函数的解析法。在此，仅作点拨。总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。

三元一次方程是含有三个未知数并且未知数的的项的次数都是1的方程，也就是含有3个未知数的一次方程，其一般形式为ax+by+cz=d。由多个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组，其求解方法一般为利用消元思想使三元变二元，再变一元。

中文名

三元一次方程

外文名

linearequationwiththreeunknows

定义

含有三个未知数的一次方程

学科

数学

一般形式

ax+by+cz=d

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三元一次方程的解与空间平面三元一次方程组举例

定义

含有3个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程，可化为一般形式ax+by+cz=d（a、b、c≠0）或ax+by+cz+d=0（a、b、c≠0）。

三元一次方程的解

适合一个三元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个三元一次方程的一个解。对于任何一个三元一次方程，令其中两个未知数取任意两个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值。因此，任何一个三元一次方程都有无数多个解，由这些解组成的集合，叫做这个三元一次方程的解集。

例如，三元一次方程：

，解有无数个

当

时，

当

时，

...

当

时，

与空间平面

数学课程中的方程与空间几何图形比如平面、曲面、直线、曲线是有对应关系的，三元一次方程就与空间几何图形——空间平面相对应。一些特殊的三元一次方程，比如常数项为零、或者只含有两个未知数、或者只含有一个未知数的就会与一些特殊的空间平面相对应。[1]

已知平面上的一点

和它的一个法线向量

，对平面上的任一点

，有向量

，

。由空间两个向量垂直的充要条件有，

，代入坐标有：

上式为空间平面的点法式方程。注意到该方程是

的一次方程，故可推定：任一平面都可以用三元一次方程来表示。这是因为任一平面都可以由它的法向量与它上面的一点唯一决定，而平面的点法式方程本身就是三元一次方程。

反过来，若有三元一次方程

任取满足该方程的一组数

，即

两式相减，得：

，该方程是过点

且以

为法向量的平面方程。由此可知，三元一次方程所代表的图形是平面。

三元一次方程组

定义

由多个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组

例如：

注意：每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组整体上要含有三个未知数。

求解思路

解三元一次方程组的基本思想仍是消元，其基本方法是代入消元法和加减消元法。

步骤：

①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组；

②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中含有三个未知数的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个未知数的值用一个大括号写在一起就是所求的三元一次方程组的解。[2]

举例

例1

解三元一次方程组

解：

对方程组中得方程进行标号

①

②

③

对方程组进行分析：该方程组可用代入法先消去y，把①代入②，得，

即

解二元一次方程组

，得：

把

代入①中，得

所以，这个方程组的解为

例2

解三元一次方程组

解：

对方程组进行标号，

①

②

③

对方程组进行分析：从三个方程的未知数的系数特点来考虑，先消z比较简单。

①+②得，

④

①+③得，

⑤

④与⑤组成一个二元一次方程组，解这个方程组，得x、y值；把x、y值方程③，得z值。

注意：为把三元一次方程组转化为二元一次方程组，原方程组中的每个方程至少要用一次。

果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。常用的未知数有x、y、z。三元一次方程组的解题思路主要是应用消元法。

中文名

三元一次方程组

外文名

Linearsimultaneousequationsinthreeunknowns

定义

有三个未知数且次数为1的方程组

特点

三个未知数

解题思路

消元

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解法学习目的与要求应用

概念

含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，叫做三元一次方程组。方程组中，少于3个方程，则无法求所有未知数的解，故一般的三元一次方程是三个方程组成的方程组。[1]

解法

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。

他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。

步骤：①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；

②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。[1]

学习目的与要求

1.了解三元一次方程组的概念；能熟练掌握简单的三元一次方程组的解法；能选择简便的解法解特殊的三元一次方程组。

2.能通过用代入消元法，加减消元法解简单的三元一次方程组，及选择合理，简捷的方法解方程组，培养运算能力。

3.通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确三元一次方程组解法的主要思路是"消元"，从而促成未知向已知的转化，培养和发展逻辑思维能力。

4.能将三元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组，再消元转化为一元一次方程及将一些代数问题转化为方程组问题，初步运用转化思想去解决问题，发展思维能力。[1]

应用

三元一次方程简单应用：

1.

解x，y，z值。

解：①+②×2得：5x+7z=21④

②+③得：x+z=5⑤

联立④、⑤得：

利用二元一次方程解法解得：

把x=7，z=-2代入①，可解得y=1

所以原方程组的解为：

三元一次方程复杂应用：

2.{a1x+b1y+c1z=d1

a2x+b2y+c2z=d2

a3x+b3y+c3z=d3}组：

x，y，z未知数，a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3为常数，解x，y，z值。

{a1x+b1y+c1z=d1①

a2x+b2y+c2z=d2②

a3x+b3y+c3z=d3③}

解：{b1y=d1-a1x-c1z④

b2y=d2-a2x-c2z⑤

b3y=d3-a3x-c3z⑥}

④÷⑤

b1/b2*(d2-a2x-c2z)=d1-a1x-c1z⑦

⑤÷⑥

b2/b3*(d3-a3x-c3z)=d2-a2x-c2z⑧

由⑦得：

b1/b2*d2-b1/b2*a2x-b1/b2*c2z=d1-a1x-c1z

a1x-b1/b2*a2x+c1z-b1/b2*c2z=d1-b1/b2*d2

(a1-b1/b2*a2)x+(c1-b1/b2*c2)z=d1-b1/b2*d2

(c1-b1/b2*c2)z=d1-b1/b2*d2-(a1-b1/b2*a2)x⑨

由⑧得：

b2/b3*d3-b2/b3*a3x-b2/b3*c3z=d2-a2x-c2z

a2x+c2z-b2/b3*a3x-b2/b3*c3z=d2-b2/b3*d3

(a2-b2/b3*a3)x+(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3

(c2-b2/b3*c3)Z=d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x⑩

⑨÷⑩

[(c1-b1/b2*c2)÷(c2-b2/b3*c3)]*[d2-b2/b3*d3-(a2-b2/b3*a3)x]=d1-b1/b2*d2-(a1-b1/b2*a2)x⑾

在⑾中a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3都是常数，只有X是未知数，所以X值已解。把常数代入式中求出X值，再将X值代入⑨或⑩，求出Z值，再将XZ值代入原式①②③中的一个，求出y值。

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