第六十六章番外5

一元五次方程

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为5（即“次”）的整式方程叫做一元五次方程（英文名：QuinticEquation）。一元五次方程的标准形式（即所有一元五次方程经整理都能得到的形式）是ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0（a,b,c,d,e,f为常数，x为未知数，且a≠0）。

中文名

一元五次方程

外文名

QuinticEquation

方程

ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

条件

a,b,c,d,e,f∈R，且a≠0

系数

a，b，c，d，e

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方程标准型解法

方程的定义

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是5次的整式方程叫做一元五次方程。

方程标准型

形如

的方程是一元五次方程的标准型。

解法

天珩公式

本公式判别法的缺点是仅可求解实系数的部分五次方程。根据Abel定理，一般形式的五次方程无根式解；但对于所有存在重根的五次方程及部分特殊情况下的五次方程而言，可用如下的天珩公式求解。当且仅当重根判别式D=0时，方程存在重根。

重根判别式：

总判别式

(1)若L=M=N=P=0，则方程有一个五重实根。

(2)若L≠0，G=H=J=0，当7L2=4N时，方程有五个实根，其中有一个四重根。

,

当7L2≠4N时，方程有五个实根，其中有一个三重根和一个二重根。

,

(3)若G≠0，E=F=0，当H2+GJ=0时，方程有一个三重实根，其余两根根据根号内被开方数的正负可能为两个不等实根或一对共轭虚根。

,

当H2+GJ≠0时，方程有两对二重根和一个独立实根。其中，两对二重根根据根号内被开方数的正负可能为两对不等实根或两对共轭虚根。

,

(4)若E≠0，D=0，则方程有一个二重实根，其余三根为三个不等实根(Δ10)。(注：Δ1一定不为0)

其中二重实根为：

当Δ1>0时，

令

，则其余三根为：

,

当Δ1

令

，则其余三根为：

,

(5)若D≠0，M=N=0，Δ2>0，则方程有一个实根和两对不等共轭虚根。

其中，

(6)若D≠0，M=N=0，Δ2

其中，

(7)若D≠0，MN≠0，L=K=0，则方程有一个实根和两对不等共轭虚根。

复数域内通用公式

先将方程配方：方程两边同时除以a，后令y=x+b/5a，即x=y-b/5a，化为关于y的一元五次方程：

y5+py3+qy2+ry+s=0

若满足q=p2-5r=0，则方程可用以下方法求解：（该公式的缺点在于，仅能求解满足特殊情况q=p2-5r=0时的根，部分使用天珩公式(如上)能够求解的实系数五次方程无法使用该公式求根）

其中，V是1的一个五次方根且不为1。可取

，

遇虚数开方时，可使用如下公式：

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。[1]

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期[1]。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题[2]。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程[1]。

中文名

一元一次方程

外文名

linearequationwithoneunknown

标准形式

ax+b=0或ax=b（a≠0）

类型

整式方程、线性方程

创立者

韦达

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概念定义求根方法研究应用价值意义

历史溯源

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。[1]

约公元前1650年，古埃及的莱因德纸草书中记载了第24题，题目为：“一个量，加上它的

等于19，求这个量。”解决了形为

的一次方程，即单假设法解决问题。

花拉子米

公元前1世纪左右，中国人在《九章算术》中首次加入了负数，并提出了正负数的运算法则，解决了移项问题。在“盈不足”一章中提出了盈不足术。但该方法并没有被用来解决一元一次方程。在11～13世纪时传入阿拉伯地区，并被称为“契丹算法”。

9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”。但没有采用字母符号。体现了明显的方程的思想。

12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。

13世纪，中国的盈不足术传入欧洲，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程。

韦达

16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数。

16世纪时，明代数学家程大位（1533-1606）在《算法统宗》一书中也用假设法来解一元一次方程。

1859年，中国数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。[1]

概念定义

只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两面都是整式，这样的方程叫做一元一次方程（linearequationwithoneunknown）。[1]其一般形式是：

有时也写作：

可以通过等式性质化简而成为一元一次方程的整式方程（如

）也属于一元一次方程。一元一次方程是一种线性方程，且只有一个根。

求根方法

一般方法

解一元一次方程有五步，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，所有步骤都根据整式和等式的性质进行。[1]

以解方程

为例：

去分母，得：

去括号，得：

移项，得：

合并同类项，得：（常简写为“合并，得：”）

系数化为1，得：

在一元一次方程中，去分母一步通常乘以各分母的最小公倍数，如果分母为分数，则可化为该一项的其他部分乘以分母上分数的倒数的形式。[2]

以方程

为例：

消除分母上的分数，可化简为：

进而得出方程的解。

如果分母上有无理数，则需要先将分母有理化。

求根公式法

基本公式

对于关于

的一元一次方程

，其求根公式为：

推导过程

解：移项，得：

系数化为1，得：

图像法

对于关于

的一元一次方程

可以通过做出一次函数

来解决。一元一次方程

的根就是它所对应的一次函数

函数值为0时，自变量

的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。[3]

一次函数

以方程

为例：

如图，作出函数

的图象。

由图像知函数图象与x轴交于点

可得原方程的根是

研究应用

基本应用

一元一次方程通常可用于做数学应用题，[1]也可应用于物理、化学的计算。

如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过

公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。例如计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。

问题举例

丢番图问题

希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：

丢番图长眠于此，他的目标多么令人惊讶，它忠实地记录了他生命的轨迹：上帝给予的垂髫时光占六分之一，又过了十二分之一，髯须渐渐长出，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后弄璋之喜，儿子诞生。可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。

根据以上信息，算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄。

解法：设丢番图的寿命x岁；

则

解得x=84,

丢番图开始当爸爸时的年龄：

儿子死时丢番图的年龄：84-4=80[1]

鸡兔同笼问题

“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中的数学问题，其内容是：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”译成现代汉语为：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。笼中各有几只鸡和兔？[4][5]

该问题可用一元一次方程解决，解法如下：

解法：设鸡有x只，兔有

只

由题意得：

解得：x=23

兔的数量35-x=12

答：鸡有23只，兔有12只。

有限循环小数化为分数问题

利用一元一次方程可以将一个有限循环小数化为分数，以

为例：

设

，则

可算出

同时，该方法也可用来证明

的问题。[1]

价值意义

一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。如果仅使用算术，部分问题解决起来可能异常复杂，难以理解。而一元一次方程模型的建立,将能从实际问题中寻找等量关系，抽象成一元一次方程可解决的数学问题。例如在丢番图问题中，仅使用整式可能无从下手，而通过一元一次方程寻找作为等量关系的“年龄”，则会使问题简化。一元一次方程也可在数学定理的证明中发挥作用，如在初等数学范围内证明“0.9的循环等于1”之类的问题。通过验证一元一次方程解的合理性，达到解释和解决生活问题的目的，从一定程度上解决了一部分生产、生活中的问题。[5]

二元二次方程

二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程。其一般式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当c=0时，a、d至少一项不为零)。

中文名

二元二次方程

表达式

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

应用学科

数学

求解

“降次”、“消元”，因式分解法

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方程求解示例

简介

二元二次方程由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般用代入法求解，即将方程组中的二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入二元二次方程中，从而化“二元”为“一元”，如此便得到一个一元二次方程。此时，方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定。比如，当时，由于一元二次方程有两个相等的实根，则此方程组有相同的两组实数解……诸如此类。

二元二次方程的应用

方程求解

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

（1）有两组相等的实数解。

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解。解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式

（4）当a

（5）当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。

（6）当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。

"代入消元法”和“加减消元法”解方程组.

代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.

（2）代入法解二元一次方程组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；

②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的.）；

③解这个一元一次方程,求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.

例题：

{x-y=3①

{3x-8y=4②

由①得x=y+3③

③代入②得

3(y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

则：这个二元一次方程组的解

{x=4

{y=4.加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

（2）加减法解二元一次方程组的步骤

①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法）；

③解这个一元一次方程,求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.

如：

{5x+3y=9①

{10x+5y=12②

把①扩大2倍得到③

{10x+6y=18

③-②得：

10x+6y-(10x+5y)=18-12

y=6

再把y=带入①.②或③中

解之得:{x=-9/5

{y=6

示例

解:2x^2+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①,

且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②.

提示:解方程的基本思想是消元与降次。仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。②*3-①*4，得到一个新的方程。再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:双十字相乘法)，难度较大。也可以运用函数的解析法。在此，仅作点拨。总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。

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