补丁

这个盒子复制过来怎么还缺斤少两的(ﾉ_ _)ﾉ

算了

单独发一章节

中超越基数：:将第n个大基数记为T[n], 则中超越基数是满足 T[α]=α的最小值.

大超越基数：将T记号像φ函数, ψ函数, 甚至Stegert/Rathgen的Psi函数一样扩展, 甚至再带上TON...... 如果说小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK

极超越基数：将"小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK看作是"映射", 则将大超越基数映射一次, 就是Ω 也就是第一不可序列数

可构造宇宙V=L：

定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X使得

x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]

然后：

L₀=∅

L₁=Def(L1)={∅}=1

Ln+1=Def(Ln)=n

Lω=∪＿k＜ω Lω

Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinal

ג是极限序数

L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数

遗传序数可定义宇宙HODs：

HOD⁰=V

HODⁿ⁺¹=HODᴴᴼᴰ^ⁿ

HOD^ω=∩＿n＜ω HODⁿ

H⁰=V

H^α+1=HODᴴ^ᵃ

HOD^η=∩α＜η HOD^α

对所有HODs的脱殊扩张

gHOD=∩HOD^V[G]

或许还有：

序数宇宙V=ON

良序宇宙V=WO

良基宇宙V=WF

于是可能：

V=L=ON=WO=WF=HOD=Ord=终极L=…………

脱殊扩张V(V[G])：

脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。

P-name宇宙V

令P为一个拥有

rank ( P ) = r＞ω假设P-names 通过一个flat pairing function 来构造。那么对于任意的V上的G⊆P-generic 以及对于任意的a≥r×w有V[G]ₐ=Vₐ[G]

令f为一个固定的的flatpairing function ;再递归地构造一个宇宙：

V₀ᴾ=∅

Vλᴾ=∪＿α＜ג Vαᴾ

Vα+1ᴾ=P(Vαᴾ×P)

Vᴾ=∪＿α∈Ord Vαᴾ

宇宙V=终极L：

V=终极L的前置条件：

一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。

一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。

一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。

V=终极-L是一个多元一阶算术集合论。

存在V=终极-L的有限公理化。

存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。

对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。

伊卡洛斯基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。

如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。

见证普遍分区公理成立。

见证强普遍分区公理成立。

终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。

V=终极L的直接推论：

见证最大基数伊卡洛斯的存在性。

见证真类多的武丁基数

终极L是最大的内模型。

见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。

拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）

见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言

见证 Ω 猜想成立

见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。

见证ZF+Reinhardt不一致。

存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .

V是最小的脱殊复宇宙。

见证广义连续统假设成立，并且 ω₁ 上有一个均匀预饱和理想。

见证正常力迫公理成立。

存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential 语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire 集AR使得有

HODᴸᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾∩V＿Θ⊨φ

其中Θ=Θᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾(A, R) . (V=终极L)

绝对无穷Ω：

理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数

在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落

不要与序数中的第一不可序列数搞混

关于绝对无限有两个的性质：

反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。

假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。

不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。

推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。

复宇宙：

假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：

⑴可数化公理

⑵伪良基公理

⑶可实现公理

⑷力迫扩张公理

⑸嵌入回溯公理

对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。

对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico

对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W

对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。

从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的

简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。

在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。

脱殊复宇宙：

令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类：

⒈M∈Vᴍ

⒉如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ

⒊如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ

简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。

如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。

也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。

复复宇宙：

存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。

就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙

于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……

最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。

在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。

通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元

V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。

以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西……

我就说看着怪怪的，把盒子复制过来感觉少了什么，回头看的时候突然发现我冯诺依曼宇宙，V≥L还有逻辑多元都缺少很多，按理来说复制过来的不应该啊ฅ(̳•ε•̳)ฅ

补于设定1

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