四点公圆和实数

四点共圆

一、定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”

二、四点共圆的判定定理：（常用方法的5个，注意定理4个）

定理1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆

∵OA=OB=OC=OD

∴点A、B、C、D四点共圆

定理2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆

注意：只需证一组对角互补

∵∠A+∠C=180°

∴点A、B、C、D四点共圆

或者

∵∠B+∠D=180°，

∴点A、B、C、D四点共圆

定理3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆

∵∠CDE=∠B

∴点A、B、C、D四点共圆

定理4.共底边，且在底边同侧的两个三角形，如果它们的顶角相等，则四个顶点共圆

△ABC 与△DBC 共底边BC

∵∠A=∠D

∴点A、B、C、D四点共圆

定理5：共底边，且在底边的两侧的两个三角形，如果它们的顶角互补，则四个顶点共圆

△ABD 与△CBD 共底边BD

∵∠A+∠C=180°

∴点A、B、C、D四点共圆

方法6.同斜边的直角三角形的顶点共圆

注意：方法5实质上是定理4和定理5的特例

（1） （2）

∵∠A+∠C=180° ∵∠A=∠C=90°

∴点A、B、C、D四点共圆 ∴点A、B、C、D四点共圆

三、四点共圆的妙用：证明四点共圆可以帮助我们在解题过程中利用圆特有的性质解决问题：求角等、边等、相似、边长、最值等

几何中常用解决问题的方法：（1）全等 （2）相似（3）四点共圆

（4）平移、旋转、轴对称

第1讲 实数

1、 实数定义：有理数和无理数统称实数。

（1）有理数定义：整数和分数统称有理数。

（2）有理数的5种形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数、开方开得尽的数

举例：

（3）无理数定义：无限不循环小数，叫无理数

（4）无理数的3种形式：无限不循环小数，开方开不尽的数，带的数

2、 实数与数轴上的点一一对应。

3、 相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数。

0的相反数是0

的相反数是

（2）互为相反数的两个数和为0.

与b互为相反数b0

4、 倒数：如果两个数的乘积为1，那么两个数互为倒数。

0无倒数

的倒数是

（2）互为倒数的两个数乘积为1

与b互为倒数b1

5、 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

（1）绝对值的性质：（重点）

①正数的绝对值是它本身.

②负数的绝对值是它的相反数.

③0的绝对值是0.

=

(2)如果 ；那x

（3）小公式：(19题计算等，去绝对值符号）

（4）绝对值的非负性：

5、平方根、算术平方根：

（1）平方与开平方互为逆运算，开平方的结果是平方根。

（2）只有非负数（正数和0）有平方根。

如果 那么 x

（3）算术平方根：正数有两个平方根，这两个平方根中，正的平方根叫算术平方根。如 叫 x的算术平方根。

规定：0的算术平方根是0

②算术平根具有非负性：（且是双重非负性）

（4）平方根的性质：

正数有两个平方根，它们互为相反数

0的平方根是0

负数没有平方根

7、 立方根：

（1）立方与开立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。

（2）任何数都有一个立方根。

如果 那么 x

正数有1个正的立方根

0的立方根是0

负数有1个负的立方根

8、 科学计数法：

（1）表示绝对值很大的数：×10n n是正整数

（2）数表示绝对值很大的数：× n是正整数

(3)10

（4）小数点向左（向右）移动几位，就是10的正几或负几次方

9、幂的运算：

（1）

（2）

（3）两个同底数幂相乘

（4）两个同底数幂相除

（5）幂的乘方

（6）积的乘方第1讲 实数

1、 实数定义：有理数和无理数统称实数。

（1）有理数定义：整数和分数统称有理数。

（2）有理数的5种形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数、开方开得尽的数

举例：

（3）无理数定义：无限不循环小数，叫无理数

（4）无理数的3种形式：无限不循环小数，开方开不尽的数，带的数

2、 实数与数轴上的点一一对应。

3、 相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数。

0的相反数是0

的相反数是

（2）互为相反数的两个数和为0.

与b互为相反数b0

4、 倒数：如果两个数的乘积为1，那么两个数互为倒数。

0无倒数

的倒数是

（2）互为倒数的两个数乘积为1

与b互为倒数b1

5、 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

（1）绝对值的性质：（重点）

①正数的绝对值是它本身.

②负数的绝对值是它的相反数.

③0的绝对值是0.

=

(2)如果 ；那x

（3）小公式：(19题计算等，去绝对值符号）

（4）绝对值的非负性：

5、平方根、算术平方根：

（1）平方与开平方互为逆运算，开平方的结果是平方根。

（2）只有非负数（正数和0）有平方根。

如果 那么 x

（3）算术平方根：正数有两个平方根，这两个平方根中，正的平方根叫算术平方根。如 叫 x的算术平方根。

规定：0的算术平方根是0

②算术平根具有非负性：（且是双重非负性）

（4）平方根的性质：

正数有两个平方根，它们互为相反数

0的平方根是0

负数没有平方根

7、 立方根：

（1）立方与开立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。

（2）任何数都有一个立方根。

如果 那么 x

正数有1个正的立方根

0的立方根是0

负数有1个负的立方根

8、 科学计数法：

（1）表示绝对值很大的数：×10n n是正整数

（2）数表示绝对值很大的数：× n是正整数

(3)10

（4）小数点向左（向右）移动几位，就是10的正几或负几次方

9、幂的运算：

（1）

（2）

（3）两个同底数幂相乘

（4）两个同底数幂相除

（5）幂的乘方

（6）积的乘方

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