数学三角形1

4.1（1）认识三角形（知识点）

一、三角形的相关概念：

1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

注意：（1）三条线段

（2）不在同一条直线上

（3）首尾顺次

2.三角形的三要素：

（1）边：组成三角形的线段。（3条边）

（2）顶点：相邻两边的公共点。（3个）

（3）角：相邻两边组成的角叫三角形的内角。（简称三角形的角）（3个）

3.三角形的符号表示：顶点是A,B,C的三角形记作△ABC，△ABC的三边有时也用a,b,c来表示。顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.

二、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

在△ABC中 ∠A+∠B+∠C＝180°

三、三角形“按角”分类

有益结论：（1）一个三角形最多有1个钝角.

（2）一个三角形最多有1个直角.

（3）一个三角形最多有3个锐角.

（4）一个三角形最少有2个锐角.

（1）一个三角形最大的内角不小于60°.

四、直角三角形：

（1）表示：直角三角形ABC用符号表示为Rt△ABC，

（2）斜边：直角所对的边. 如图：AC

（3）直角边：夹着直角的两条边.如图：AB、BC

定理：直角三角形的两个锐角互余.

在Rt△ABC中 ∠A+∠C＝90°

五、在三角形中求角，可以用设K 法，也就是设未知数x（列方程）的方法。

六、双垂直型：

（1）图中三个直角三角形分别为：

Rt△ACB、Rt△ADC、Rt△BDC

（2）∠A＝∠BCD、∠B＝∠ACD、

（3）4对互余的锐角：

七、有益结论：把△ABC的纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，

这个规律为2∠A＝∠1+∠2．

4.1（2）认识三角形（知识点）

一.等腰三角形

（1）定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。（既是性质又是判定）

(2)等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）∵AB＝AC

∴∠B＝∠C

(3)等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

∵∠B＝∠C

∴AB＝AC

二、等边三角形

（1）定义：三条边相等的三角形叫等边三角形。（既是性质又是判定）

(2)等边三角形性质定理：等边三角形的三个角都相等，都等于60°

(3)等边三角形判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

∵∠A＝∠B＝∠C

∴△ABC是等边三角形

(4)等边三角形判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

三、三角形按边分类：

三边都不相等的三角形

三角形

底与腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

四、三角形三边关系定理：

①三角形的任意两边之和大于第三边

②三角形的任意两边之差小于第三边

acab

（2）注意：实际应用三边关系定理时，验证：

两短边之和大于最长边

短边+中边

（3）题型：求等腰三角形周长时，勿忘用三边关系定理讨论此时，三角形是否存在，注意分情况讨论。

①等腰三角形的两边长为4 cm，5 cm.则这个等腰三角形的周长为

②等腰三角形的两边长分别为3 cm，7 cm则这个等腰三角形的周长为

4.1(3)三角形的中线和角平分线(知识点)

一、三角形的角平分线：

1、定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（定义既是性质又是判定）

(性质)∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC

∠BAC ＝2∠BAD＝2∠CAD

(判定)∵∠BAD＝∠CAD

∴AD平分∠BAC

2、任意三角形的三条角平分线交于一点，这一点一定在三角形内部.

3、三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是一条射线，不可度量.

4、会利用三角形的角平分线求角度。

5、有益结论：三角形两个内角角平分线的夹角

等于90+顶角的一半

二、三角形的中线：

1、定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（定义既是性质又是判定）

(性质) ∵AE是△ABC的中线

∴BE＝CE＝ BC

BC＝2BE＝2CE

(判定) ∵BE＝CE

∴AE是△ABC的中线

2、任意三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部.这个点叫三角形的重心。

（用铅笔支撑起三角形卡片，笔尖放在三角形的重心。）

3、中线平分一条边。（见中线得中点）

4、直角三角形特有的定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∵AD是Rt△BAC的中线

∴AD＝ BC

(也即AD＝BD＝DC)

图中有：（1）三条线段相等AD＝BD＝DC

（2）两个等腰三角形

（3）两对相等的角：∠B＝∠1

∠C＝∠2

5、有益结论：三角形的中线等分面积

三角形的一条中线等分这个三角形的面积。

（三角形的一条中线将它分成面积相等的两个小三角形）

6、、有益结论：三角形的一条中线将它分成的两个小三角形的周长之差等于两腰之差。

4.1（4）三角形的高（知识点）

一、定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

注意：（1）三角形的高是过顶点向对边作的垂线段。

（2）（性质）由高得垂直

∵AF是ABC的高

∴AFBC

（3）（判定）由垂直得高

∵AFBC

∴AF是ABC的高

（4）描述高时，常说“某条边上的高”

二、锐角三角形的三条高：

锐角三角形的三条高交于一点，这一点在三角形内部.

三、直角三角形的三条高：

直角三角形的三条高交于一点，这一点是直角顶点.

四、钝角三角形的三条高：

钝角三角形的三条高不相交,但钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点在钝角三角形外部。

五、总结：

六、直角三角形已知两条直角边，求斜边上的高：

直角三角形两条直角边的乘积，等于斜边乘以斜边上的高

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