数学函数

复习（一） 图形与坐标变化

一、点的特征：

1.第一象限内的点（+，+）；.第二象限内的点（―，+）；

第三象限内的点（―，―）；.第四象限内的点（+，―）；

2.坐标轴上的点：

（1）横轴（x轴）上的点纵坐标为0，即（x,0）;

（2）纵轴（y轴）上的点横坐标为0，即（0,y）.

3.平行：

（1）平行于x轴的同一直线上的点，有相同的纵坐标。

（2）平行于y轴的同一直线上的点，有相同的横坐标。

（3）平行于x轴的一条线段的长度等于两个端点横坐标之差的绝对值 ︱

（4）平行于y轴的一条线段的长度等于两个端点纵坐标之差的绝对值 ︱

4.对称：

（1）关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（x,y）←→(x, - y)

（2）关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（x,y）←→(- x, y)

（3）关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。（x,y）←→(- x, - y)

（4）关于直线直线y=x对称的两个点，横纵坐标位置互换。（x,y）←→（y,x）

（5）关于直线直线y= -x对称的两个点，横纵坐标都变成相反数后位置互换。（x,y）←→（- y, - x）

5、距离：

（1）点（x,y）到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即︱y︱

（2）点（x,y）到y轴的距离为横坐标的绝对值，即︱x︱

（3）点（x,y）到原点的距离为

（4）点（,）和点（,）, 任意两点间的距离为

6.（1）一、三象限角分线（直线y=x）上的点，横纵坐标相同（x,x）.

(2)二、四象限角平分线（直线y= -x）上的点，横纵坐标互为相反数(x,-x).

7、一条线段的中点公式：如果线段AB的中点为点M，已知A（,）和B（,），

则中点M()

二、图形与点的坐标变化：

1.点的平移：←→坐标加减（横坐标管左右平移，纵坐标管上下平移）(上加下减，右加左减)

（1）纵坐标不变，横坐标±a: (x,y) ←→(x±a,y):图像向右（向左）平移a个单位

（2）横坐标不变，纵坐标±b: (x,y) ←→(x,y±b):图像向上（向下）平移b个单位

（3）横坐标±a，纵坐标±b: (x,y) ←→ (x±a,y±b):图像向右（向左）平移a个单位，向上（向下）平移b个单位。

复习（二）函数基础知识

(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x给定的一个值，y都有唯一 一个值与之对应，此时称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

(2) 自变量的取值范围：①函数关系式是整式，自变量取值是任意实数．②函数关系式是分式，自变量取值应使得分母不等于0．③函数关系式是偶次根式，自变量取值为非负数．④实际问题的函数式，使实际问题有意义

(3)常量与变量：常量：在某变化过程中不变的量。变量：在某变化过程中变化的量

（4）函数的三种表示方法：表格； 关系式； 图象

复习（三） 一次函数

（一）一次函数图像：

1. y=kx（k0）的图象是一条过 点(0, 0)和点（1，k）的直线。

2.y=kx+b（k0）的图象是一条过 点(0, b)和点（，0）的直线。

(二)一次函数y=kx+b系数对图像的影响：

1.系数k对图像的影响：

（1）k决定所过象限：①k>0，必过第一、三象限。②k

（2）k决定增减性：①k>0，y随x的增大而增大。②k

（3）决定倾斜程度：①越大，直线越陡；②越小，直线越缓；③越大，函数变化速度越快

(4) 已知直线上两个点的坐标,

写出 k =

（5）已知直线与x轴所夹的锐角为∠，则

①直线过一三象限，k=tan

②直线过二四象限，k= tan

2.系数b对图像影响：b决定直线与y轴的交点

（1）b>0，直线与y轴的交点在正半轴

k、b的作用

表达式：

图像

性质：

k＞0

b＞0

b=0

b＜0

k＜0

b＞0

b=0

b＜0

（2）b

（3）b=0，直线过原点

（三）附函数图像表格：

(四) 两直线的关系：

直线y=k1x+b1（k10）与直线y2=k2x+b2（k20）

（1）当k1 =k2 且b1 =b2时，两直线重合。（3）当k1k2时，两直线相交。

（2）当k1 =k2且b1b2时，两直线平行。

（4）当k1k2 = -1 时，两直线互相垂直.

(五)一次函数图像的平移：x管左右平移（左加右减），b管上下平移（上加下减）

1.将y=kx+b向上平移m个单位，得y=kx+b+m （注m>0）

2.将y=kx+b向下平移m个单位，得y=kx+b-m （注m>0）

3. 将y=kx+b向左平移a个单位，得y=k(x+a)+b （注a>0）

4. 将y=kx+b向右平移a个单位，得y=k(x-a)+b （注a>0）

（六）直线y=k1x+b1（k10）与直线y2=k2x+b2（k20）求交点：联立两个表达式解二元一次方程组。

（七）确定一次函数表达式：3种方法①已知k型，直接把k设成数②已知b型，直接把b设成数③普通两点型，代入两个点，解二元一次方程组

复习（四）反比例函数

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= (k为常数，k≠0）的形式（或y=kx-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．

2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2）自变量x的取值范围是x≠0；（3）因变量y的取值范围是y≠0．

3. 反比例函数的图象和性质

k的符号

o

y

x

k＞0

y

x

o

k＜0

图像的

大致位置

所在象限

第一、三象限

第二、四象限

性质

在每一象限内y随x的增大而减小

在每一象限内y随x的增大而增大

4．︱︱的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，，则所得矩形OMDN的面积为︱︱. 所得ΔPDO面积等，为︱︱.

5.反比例函数与一次函数相交（三线四域）：

一次函数＝kx+b的图象与反比例函数＝的图象交于点A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点，

（1）当xx

（2）当x

（3）当xx

6.如图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N.

结论：SΔPDO=S梯形BNMA

复习（四）二次函数

（一）二次函数一般式y=ax2+bx+c的平移：（用配方法）

(1)首先化为顶点式

（2）h: 先左右平移︱h︱ （左加右减）

K: 后上下平移︱k︱（上加下减）

（二）二次函数与坐标轴的交点

1．与y轴的交点：令x=0,得y=c, 所以与y轴的交点为（0，c）

2．与x轴的交点：令y=0,得一元二次方程

①有两个交点方程有2个不等实根；

②有一个交点方程有2个相等实根

③无交点方程无实根

3．已知抛物线与x 轴两个交点为（，0）（，0）

所以有交点式：y=a(x-)(x-)

4．若抛物线与x轴交于A、B两点，则两点间的距离为

︱-︱=

（三）二次函数与系数a、b、c的关系：

（1）a决定开口方向（a＞0开口向上，a＜0开口向下）

a决定增减性（a＞0左减右增，a＜0左增右减）

︱a︱决定开口大小（︱a︱越大，开口越窄，︱a︱越小，开口越宽）

（2）a、b的符号决定对称轴位置：

①a、b同号对称轴在y轴左侧

② a、b异号轴在y轴右侧 （左同右异）

③当b=0时，对称轴为 y轴 (此时，+ c)

（3）c决定与y轴交点（0，c）的位置：

①c＞0,与y轴交点在正半轴

②c＜0, 与y轴交点在负半轴

③c=0,图象过原点（0,0）.(此时，+ bx)

a

a＞0

a＜0

开口向上， 左减右增，

开口向下 ，左增右减，

b

“左同右异”

ab＞0

b=0

ab＜0

对称轴在 y轴左侧

对称轴为 y轴 (此时，+ c)

对称轴在 y轴右侧

c

c＞0

c=0

c＜0

与y轴正半轴相交；

经过原点；(此时，+ bx)

与y轴负半轴相交．

Δ=

与x轴有2个交点；

与x轴有1个交点；

与x轴有无交点；

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