第六十三章番外2

二元二次方程

二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程。其一般式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当c=0时，a、d至少一项不为零)。

中文名

二元二次方程

表达式

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

应用学科

数学

求解

“降次”、“消元”，因式分解法

快速

导航

方程求解示例

简介

二元二次方程由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般用代入法求解，即将方程组中的二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入二元二次方程中，从而化“二元”为“一元”，如此便得到一个一元二次方程。此时，方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定。比如，当时，由于一元二次方程有两个相等的实根，则此方程组有相同的两组实数解……诸如此类。

二元二次方程的应用

方程求解

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

（1）有两组相等的实数解。

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解。解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式

（4）当a

（5）当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。

（6）当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。

"代入消元法”和“加减消元法”解方程组.

代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.

（2）代入法解二元一次方程组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；

②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的.）；

③解这个一元一次方程,求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.

例题：

{x-y=3①

{3x-8y=4②

由①得x=y+3③

③代入②得

3(y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

则：这个二元一次方程组的解

{x=4

{y=4.加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

（2）加减法解二元一次方程组的步骤

①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法）；

③解这个一元一次方程,求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.

如：

{5x+3y=9①

{10x+5y=12②

把①扩大2倍得到③

{10x+6y=18

③-②得：

10x+6y-(10x+5y)=18-12

y=6

再把y=带入①.②或③中

解之得:{x=-9/5

{y=6

示例

解:2x^2+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①,

且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②.

提示:解方程的基本思想是消元与降次。仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。②*3-①*4，得到一个新的方程。再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:双十字相乘法)，难度较大。也可以运用函数的解析法。在此，仅作点拨。总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。

在初等代数中，通常把由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

中文名

二元二次方程组

外文名

Systemofquadraticequationswithtwovariables

学科

数学

类型

整式方程、线性方程

求解方法

转化，即降次，消元法

快速

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求解方法特殊形式

定义与一般形式

在初等代数中，二元二次方程组的定义为：由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组。

二元二次方程组可分成两种类型，第一类型是由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组，它的一般形式可写成：

其中a1，b1，c1不全为零，d2和e2也不全为零。第二类型是由两个二次方程所组成的方程组，它的一般形式可写成：

其中a1，b1，c1不全为零，d2和e2也不全为零。[1]

求解方法

对于上述第一类型的二元二次方程组，可用代入消元法，从而归结为解含一个未知数的一个二次方程；而对于第二类型的二元二次方程组，经过消元后一般将归结为一元四次方程，但对如下几种特殊情形还是可以用一次和二次方程的方法来求解的：

1.存在数m和n，使mF1(x，y)+nF2(x，y)是一元方程；或是一次方程；或是可约。

2.F1(x，y)和F2(x，y)均为对称多项式或反对称多项式。[1]

二元二次方程组最多可能有四组解。用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法。

特殊形式

二元二次方程组中有许多特例，例如：

A有一个一次方程的二元二次方程组

B对称方程组

C轮换方程组

D不含一次项

E二次项系数成比例

具体如下：

一个一次方程的二元二次方程组：

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般用代入法求解，即将方程组中的二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入二元二次方程中，从而化“二元”为“一元”，如此便得到一个一元二次方程。此时，方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定。

例解方程组：

解：由(1)，得

把(3)代入(2)，得

整理，得

解这个方程，得

把

代入(3)，得

∴原方程上的解是：[2]

不含一次项：

不含有一次项的二元二次方程。通常解法为：尝试将常数项通过加减消元消去。

例解方程组

解：经观察我们发现两个方程都没有一次项，则可以消去常数项，并分解因式。由①-②×2得：

即

则原方程组与下列两个方程组同解：

（1）

，解得

，

；

（2）

，解得

，

；

所以原方程的解为：

；

；

；

；[3]

二次项系数成比例：

通常解法为：通过加减消元消除二次项

例解方程组

解：①×3-②×2得

则原方程与下列方程组同解

用代入法可得这个方程组（也即原方程组的解）：[3]

；

对称方程组：

将方程组中各方程的未知数互换后与原方程一样，则此方程组为对称方程组。解的特性：两个未知数可以互换。

轮换方程组：

将方程组中各方程的未知数互换后，各方程变化，但是整个方程组不变。一般来说，将两式相减即可因式分解。

均来源于网络

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