第五十六章番外10
∮
L
E
涡
⋅
l
=−∫
s
∂
t
∂
B
⋅d
S
自感与互感
自感现象
回路自身电流、回路的形状、或回路周围的磁介质发生变化时，穿过该回路自身的磁通量随之变化，从而在回路中产生感应电动势的现象
ψ=LI\psi=LI
ψ=LI
其中L为自感系数ψ=Nϕm\psi=N\phi_mψ=Nϕ
m
，单位为亨利，则自感电动势为：
εL=−d(LI)dt=−LdIdt−IdLdt\varepsilon_L=-\frac{d(LI)}{dt}=-L\frac{dI}{dt}-I\frac{dL}{dt}
ε
L
=−
dt
d(LI)
=−L
dt
dI
−I
dt
dL
若只有电流大小发生了改变，则
εL=−LdIdt\varepsilon_L=-L\frac{dI}{dt}
ε
L
=−L
dt
dI
L总是阻碍电流的变化
互感现象
因两个载流线圈中电流变化而在对方线圈中激起感应电动势的现象称为互感应现象

Ψ21=M21I1,Ψ12=M12I2\Psi_{21}=M_{21}I_1,\Psi_{12}=M_{12}I_2
Ψ
21
=M
21
I
1
,Ψ
12
=M
12
I
2
其中M为互感系数，据实验M21=M12M_{21}=M_{12}M
21
=M
12
ε12=−dΨ12dt=−MdI2dt,ε21=−dΨ21dt=−MdI1dt\varepsilon_{12}=-\frac{d\Psi_{12}}{dt}=-M\frac{dI_2}{dt},\varepsilon_{21}=-\frac{d\Psi_{21}}{dt}=-M\frac{dI_1}{dt}
ε
12
=−
dt
dΨ
12
=−M
dt
dI
2
,ε
21
=−
dt
dΨ
21
=−M
dt
dI
1
自感线圈的串联

等效电感为：
L=L1+L2+2ML=L_1+L_2+2M
L=L
1
+L
2
+2M

L=L1+L2−2ML=L_1+L_2-2M
L=L
1
+L
2
−2M
为了反应两个回路磁场耦合的松紧程度，引入了耦合系数的概念
M=kL1L2−−−−√M=k\sqrt{L_1L_2}
M=k
L
1
L
2
其中k即为耦合系数
在一般情况下，由于漏磁等现象，k
磁场能量
自感能量
在一仅有电阻与电感的电路中，电流的随时间变化有如下公式
i=εR(1−e−RLt)i=\frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})
i=
R
ε
(1−e
−
L
R
t
)
在完成充电之后，电感拥有能量
W=12LI2W=\frac{1}{2}LI^2
W=
2
1
LI
2
互感能量
两个相邻的线圈分别与电源相连，在通电过程中，两线圈的磁能为：
W=12L1I21+12L2I22+MI1I2W=\frac{1}{2}L_1I_1^2+\frac{1}{2}L_2I_2^2+MI_1I_2
W=
2
1
L
1
I
1
2
+
2
1
L
2
I
2
2
+MI
1
I
2
磁场的能量
由螺线管特例W=12BHVW=\frac{1}{2}BHVW=
2
1
BHV可以推出
W=∫vwdV=∫v12BHdVW=\int_vwdV=\int_v\frac{1}{2}BHdV
W=∫
v
wdV=∫
v
2
1
BHdV
麦克斯韦电磁场理论
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷累积随时间变化，单位时间内极板上电荷的增加或减少等于通入或流入极板的电流
I=dQdt=∫s∂D⃗∂t⋅dS⃗I=\frac{dQ}{dt}=\int_s\frac{\partial\vecD}{\partialt}\cdotd\vecS
I=
dt
dQ
=∫
s
∂t
∂
D
⋅d
S
此即是位移电流，其电流密度为
j⃗d=∂D⃗∂t\vecj_d=\frac{\partial\vecD}{\partialt}
j
d
=
∂t
∂
D
全电流定律
全电流定律：通过某一截面的全电流是通过这一截面的传导电流、运流电流和位移电流的代数和
麦克斯韦方程
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∮sD⃗⋅dS⃗=∑q∮LE⃗⋅dl⃗=0∮sB⃗⋅dS⃗=0∮LH⃗⋅dl⃗=∑I说明静电场是有源场说明静电场是保守场、无旋场稳恒磁场是无源场稳恒磁场是非保守场\begin{cases}\oint_s\vecD\cdotd\vecS=\sumq&说明静电场是有源场\\\oint_L\vecE\cdotd\vecl=0&说明静电场是保守场、无旋场\\\oint_s\vecB\cdotd\vecS=0&稳恒磁场是无源场\\\oint_L\vecH\cdotd\vecl=\sumI&稳恒磁场是非保守场\end{cases}
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧
∮
s
D
⋅d
S
=∑q
∮
L
E
⋅d
l
=0
∮
s
B
⋅d
S
=0
∮
L
H
⋅d
l
=∑I
说明静电场是有源场
说明静电场是保守场、无旋场
稳恒磁场是无源场
稳恒磁场是非保守场
自由空间的麦克斯韦方程
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∮sD⃗⋅dS⃗=0∮LE⃗⋅dl⃗=−∫s∂B⃗∂t⋅dS⃗∮sB⃗⋅dS⃗=0∮LH⃗⋅dl⃗=∫s∂D⃗∂tdS⃗\begin{cases}\oint_s\vecD\cdotd\vecS=0\\\oint_L\vecE\cdotd\vecl=-\int_s\frac{\partial\vecB}{\partialt}\cdotd\vecS\\\oint_s\vecB\cdotd\vecS=0\\\oint_L\vecH\cdotd\vecl=\int_s\frac{\partial\vecD}{\partialt}d\vecS\end{cases}
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧
∮
s
D
⋅d
S
=0
∮
L
E
⋅d
l
=−∫
s
∂t
∂
B
⋅d
S
∮
s
B
⋅d
S
=0
∮
L
H
⋅d
l
=∫
s
∂t
∂
D
d
S
介质的物质方程
D⃗=εE⃗\vecD=\varepsilon\vecE
D
=ε
E
B⃗=μE\vecB=\muE
B
=μE
j⃗=σE⃗\vecj=\sigma\vecE
j
=σ
E
其中σ\sigmaσ为电导率
电磁波
据麦克斯韦理论：
∮LE⃗⋅dl⃗=−∫s∂B⃗∂t⋅dS⃗,∮LH⃗⋅dl⃗=∫s∂D⃗∂tdS⃗\oint_L\vecE\cdotd\vecl=-\int_s\frac{\partial\vecB}{\partialt}\cdotd\vecS,\oint_L\vecH\cdotd\vecl=\int_s\frac{\partial\vecD}{\partialt}d\vecS
∮
L
E
⋅d
l
=−∫
s
∂t
∂
B
⋅d
S
,∮
L
H
⋅d
l
=∫
s
∂t
∂
D
d
S
这样，电场与磁场可以互相激发，以波的形式在空间中传播
电磁波的性质
电磁波是横波，电场强度，磁场强度，电磁波速度相互垂直，构成正交右旋，
电磁波是偏振波
电场强度与磁场强度同相位
同一点的电场强度与磁场强度满足ε√E=μ−−√H\sqrt\varepsilonE=\sqrt\muH
ε
E=
μ
H
传播速度为v=1εμ√v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}v=
εμ
1
近似光速
电磁波的能量
能量密度
据we=12εE2,wm=12μH2w_e=\frac{1}{2}\varepsilonE^2,w_m=\frac{1}{2}\muH^2w
e
=
2
1
εE
2
,w
m
=
2
1
μH
2
得到电磁场的能量密度为
w=εE2=μE2w=\varepsilonE^2=\muE^2
w=εE
2
=μE
2
能流密度
单位时间内穿过垂直于传播方向的单位面积的辐射能量（s）
S⃗=E⃗×H⃗\vecS=\vecE\times\vecH
S
=
E
×
H
电磁波的辐射
电磁振荡

一个不计电阻的LC电路可以实现电磁振荡，且有频率
ω=1LC√\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}
ω=
LC
1
缺点
（1）振荡频率低
（2）电磁场仅局限于电容器与自感线圈之间
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