费马数

费马数

费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。

中文名

费马数

由 来

费马于1640年提出

定 义

把( )记为Fn

猜想结论

也就是说F5不是质数

费马素数正十七边形三等分角近代三大数学难题倍立方问题缺8数最大素数世界近代三大数学难题三大数学危机高斯画正十七边形

​费马数

费马

费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式：

其中 n 为非负整数。

若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。

正文

形如

费马数

的数，n≥0。前五个费马数是F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,均为素数。据此,1640年，法国数学家P.de费马猜想Fn均为素数，1732年，L.欧拉发现 F5=641×6700417，故费马猜想不真。到目前为止，只知道以上五个费马数是素数。此外，还证明了48个费马数是复合数。这些复合数可以分成三类：①当n=5,6,7时，得到了Fn的标准分解式；②当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55，58，63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945时，只知道Fn的部分素因数；③当n=14时，只知道F14是复合数，但是它们的任何真因数都不知道。因此，在费马数列中是否有无穷多个素数，或者是否有无穷多个复合数，都是未解决的问题。自从费马猜想被否定后，有人猜想费马数列中只有有限个素数，这一猜想也未解决。还有一个未能证明的猜想：费马数无平方因子。L.J.沃伦于1967年证明了：如果素数q满足q｜Fn，则

费马数

费马数有一些简单的性质：如①当整数 k>0时，有

费马数

；②设 n>0，Fn是素数的充分必要条件是

费马数

；③设 n>1，Fn的每一个素因数形如

费马数

。

1801年,C.F.高斯证明了,当h＝

费马数

(0≤n1

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